AMM 상수곱 공식과 비영구적 손실 수학

  # AMM 상수곱 공식과 비영구적 손실 수학

유니스왑(Uniswap)이 개척한 자동화된 시장 조성자(Automated Market Maker, AMM)는 유동성 풀에 예치된 자산 간의 수학적 함수 관계를 통해 실시간 교환 가격을 결정합니다.

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## 1. 상수곱 공식 ($x \cdot y = k$)의 수학적 유도

ETH와 USDT로 구성된 유동성 풀에서:
* $x$: 풀에 있는 ETH 수량
* $y$: 풀에 있는 USDT 수량
* $k$: 불변 상수 ($x \cdot y = k$)

이 풀에서 ETH의 현재 가격 $P$는 다음과 같습니다:
$$P = \frac{y}{x}$$

상수 $k$를 대입하면:
$$x = \sqrt{\frac{k}{P}}, \quad y = \sqrt{k \cdot P}$$

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## 2. 비영구적 손실 (Impermanent Loss)의 완벽한 수학적 증명

가격이 최초 $P$에서 $P' = r \cdot P$로 $r$배 변동했을 때:

1. **유동성 풀에 예치했을 때의 총 자산 가치 ($V_{pool}$)**:
   $$V_{pool} = x' \cdot P' + y' = \sqrt{\frac{k}{r P}} \cdot (r P) + \sqrt{k \cdot r P} = 2 \sqrt{k \cdot r P}$$
2. **풀에 넣지 않고 그냥 지갑에 홀딩했을 때의 가치 ($V_{hold}$)**:
   $$V_{hold} = x \cdot P' + y = \sqrt{\frac{k}{P}} \cdot (r P) + \sqrt{k P} = \sqrt{k P} (r + 1)$$
3. **비영구적 손실률 ($IL$)**:
   $$IL(r) = \frac{V_{pool} - V_{hold}}{V_{hold}} = \frac{2 \sqrt{r}}{1 + r} - 1$$

> **수학적 의미**: 가격 비율 $r$이 1이 아닌 이상(가격이 오르든 내리든), $IL(r)$은 **항상 음수($\le 0$)**입니다. 즉, 거래 수수료 수익이 이 손실을 메우지 못하면 LP는 무조건 단순 보유보다 손해를 봅니다.